땅을 딛고 사는 사람에게 언덕 너머 세상은 늘 동경의 대상이었다. 머물던 곳을 벗어나 더 멀리 나아갈 수 있었던 인간의 역사는 측량과 지도 덕분이다. 모든 관측에는 오차가 포함되어 있고, 오차를 어떻게 합리적으로 결정하느냐는 언제나 우리의 관심 대상이었다. 지식 정보화 사회에서도 앞으로 끝없이 되풀이될 질문이고, 〈조정계산 해설〉은 그 질문에 대해 인간이 찾은 답을 다소 친절하게 설명한다. 땅 위 발길 닫는 데는 물론이고 지구를 벗어나 눈에 보이지 않는 곳까지 다다를 수 있지만, 여전히 우리는 이 문제를 맞닥뜨릴 수밖에 없다. 이 책과 더불어 긴 여정을 나아간다.

저자 : 배태석 서울대학교(도시공학) 오하이오주립대학교(측지학) 세종대학교 교수

들어가며 1 조정계산 기초 1.1 관측값과 미지수 1.2 조정계산 목적 1.3 함수관계와 확률 성질 1.4 행렬대수학 기초 1.5 확률변수 1.6 조정계산 확률변수 1.7 연습문제 2 직접관측모델 2.1 모델 정의 2.2 최소제곱해 2.3 관측값 가중과 전파 2.4 분산요소 추정 2.5 계산점검과 예제 2.6 통계적 추정법 2.7 잘못된 가중값 영향 2.8 연습문제 2.9 공식 요약 3 가우스-마코프 모델 3.1 모델 정의 3.2 최소제곱해 3.3 분산요소 추정 3.4 선형 관측방정식과 알고리즘 3.5 계수부족과 데이텀 3.6 연습문제 3.7 계수부족 GMM 공식 요약 3.8 완전계수 GMM 공식 요약 4 조건방정식 모델 4.1 모델 정의 4.2 최소제곱해 4.3 최소제곱해 동등성 4.4 예제 4.5 계수부족 GMM과 조건방정식 4.6 연습문제 4.7 공식 요약 5 제약조건 가우스-마코프 모델 5.1 모델 정의 5.2 미지수와 라그랑지 승수 추정 5.3 분산행렬 유도 5.4 잔차와 조정관측값 5.5 분산요소 추정 5.6 가설검정 5.7 연습문제 5.8 공식 요약 6 확률제약 가우스-마코프 모델 6.1 모델 정의 6.2 최소제곱해 6.3 분산요소 추정 6.4 가설검정 6.5 재생추정자 6.6 연습문제 6.7 공식 요약 7 순차조정계산 7.1 모델 정의 7.2 순차조정계산 검증 7.3 정규방정식 다른 풀이 7.4 계수부족 순차조정계산 7.5 새로운 미지수 순차조정계산 7.6 작은 데이터셋 순차조정계산 7.7 연습문제 8 가우스-헬머트 모델 8.1 모델 정의 8.2 GHM 예제 8.3 최소제곱해 8.4 반복선형 GHM 8.5 분산요소 추정 8.6 동등한 정규방정식 8.7 예제 8.8 연습문제 8.9 공식 요약 9 통계분석 207 9.1 표준잔차와 Studentized 잔차 9.2 GMM 가설검정 9.3 신뢰구간 9.4 χ2-분포, 분산검정, F-분포 9.4.1 χ2-분포 9.4.2 분산검정 9.4.3 F-분포 9.5 추정미지수 가설검정 9.6 미지수 개별 요소 점검 9.7 GMM 단일 이상값 검출 10 연습문제 해답 〈Appendices〉 A 유용한 행렬연산과 항등식 B 선형화 B.1 테일러 정리와 급수(일변수) B.2 고차항을 생략한 테일러 급수(다변수) C 통계표 C.1 표준누적분포 함수값 C.2 t-분포 임계값 C.3 χ2-분포 임계값 C.4 F-분포 임계값 참고 문헌 찾아보기

이 책에서는 오차 분류, 분산 척도, 분산과 공분산, 오차전파, 관측방정식과 정규방정식, 잔차 표현, 분산요소 추정, 데이텀 (datum) 변수, 매개변수 조건 방정식, 알고리즘과 예제, 제약조건 추가, 통계검정, 오차타원 등 여러 주제를 다룬다. 1장은 조정계산 이론에서 중요한 개념인 관측, 모델 미지수, 확률변수에 관한 내용을 포함하며, 필수적인 선형대수학 이론도 살펴본다. 2장에서는 직접관측식 모델에서 미지수를 최소제곱추정으로 구하는 방법을 설명한다. 산술평균과 가중평균 차이를 살펴보고, 관측값 가중 개념을 측지학 예제를 통해 소개한다. 3장에서는 여러 미지수를 포함하는 가우스-마코프 (Gauss-Markov) 모델을 다루며, 이를 확장하여 5장에서 7장까지 설명한다. 가우스-마코프 모델 최소 제곱 추정값, 잔차벡터와 분산요소 추정값 유도과정을 자세히 다룬다. 데이텀 개념에 대해서 간략하게 기술하며, 더 상세한 내용은 〈고급조정계산〉에서 살펴본다. 4장 주제인 조건방정식은 모델에 미지수를 추가하지 않고 관측값을 조정할 때 유용하다. 5장과 6장은 가우스-마코프 모델을 확장해서 미지수에 제약조건을 적용하는 방법을 설명한다. 5장에서는 고정제약조건을 다루고, 6장에서는 미지수에 확률 제약조건을 부여하는 내용을 기술한다. 7장은 순차조정계산 방법을 다루는데, 실시간 응용업무 또는 이전 조정계산 결과와 새로운 데이터를 결합할 때 매우 중요하다. 이는 칼만필터 (Kalman filtering)와 유사하며 자세한 내용은 〈고급조정계산〉 에서 다룬다. 8장은 가우스-헬머트(Gauss-Helmert) 모델을 유도하는데, 일부 문제는 앞에서 제시한 모델보다 효율적으로 해결할 수 있다. 이를 이용해서 직교회귀 (orthogonal regression) 또는 전최소제곱 (total least-squares) 해를 계산할 수도 있다. 9장은 최소제곱해를 통계적으로 분석하는 데 초점을 맞춘다. 그중에서도 추정미지수 가설검정과 관측값에서 이상값을 검출하는 개념과 수식을 설명한다. 부록에는 이 책에서 사용하는 여러 가지 행렬 특성과 항등식을 포함해서 통계표, 참고문헌, 관련 용어 목록이 정리되어 있다.