‘고등적인’ 관점으로 바라보는 ‘기초’ 수학 수학의 역사에서 특히 인상적인 점은 수학자들이 한 시점에서 과거를 돌아보며 수학이라는 학문 자체의 목적과 방법, 한계와 지평에 대해 ‘수학의 언어’로 사유해왔다는 점이다. 저자 존 스틸웰은 20세기까지의 눈부신 수학적 발전에 안주하지 않고 현대 수학의 위치를 다시 설정한다. 『기초 수학: 새롭게 다시 읽다』는 산술, 대수, 기하, 미분적분, 확률, 논리 등의 기본 원리를 살펴보고 역사적이고 철학적인 논의를 통해 서로 다른 주제들 사이에 발견되지 않았거나 숨겨져 있던 관계들을 찾아나간다. 이 책은 기본적인 수학 개념을 익히고자 하는 학생과 그 개념을 설명해야 하는 교수자, 즉 모든 수학자에게 흥미로운 책이다. 새로운 관점을 통해 수학의 스펙트럼을 폭넓게 확장하고 기초 수학과 고등 수학의 경계를 깊이 탐구할 수 있다. 그 경계 너머의 수학을 엿보며 현대 수학을 조망하는 멋진 경험을 이 책과 함께하길 바란다. 현대의 관점으로 다시 쓰는 유클리드의 『원론』 유클리드의 『원론』은 기초적인 내용을 분류하고 어떤 관점과 방법으로 수학적 대상들에 접근해야 하는지 제시해왔다. 수학사에서 2천 년 이상 영향을 미쳐온 이 고전은 오랜 전통이자 동시에 극복의 대상이기도 했다. 오늘날 기초 수학의 범주에 속하는 주제들이 언제나 ‘기초적’이라 여겨졌던 것은 아니며 그 주제들이 ‘기초’가 된 데에는 위대한 수학적 발견과 발전이 있었다. 기초 수학을 새로이 논의하기 위해서는 21세기 관점에서의 기초 주제들이 추가되어야 하고 ‘기초’라는 의미에 대해 보다 명확한 설명이 필요할 것이다. 이 책은 새로운 관점으로 수학의 스펙트럼을 폭넓게 확장하고 기초 수학과 고등 수학의 경계를 깊이 탐구한다. 수천 년에 걸쳐 수학자들이 수학의 기초를 어떻게 구축해왔는지, ‘기초적’이라는 개념이 수학사에서 어떻게 변화해왔는지 살펴보고, 역사적이고 철학적인 논의를 통해 서로 다른 주제들 사이에 발견되지 않았거나 숨겨져 있던 관계들을 찾아나간다.

저자 : 존 스틸웰 John Stillwell 오스트레일리아 멜버른 출생. 하틀리 로저스 주니어Hartley Rogers Jr.의 지도하에 MIT에서 박사학위를 받았다. 오스트레일리아의 모나쉬 대학교Monash University에서 31년간 재직한 후, 2002년부터 미국 샌프란시스코 대학교에서 강의하고 있다. 1994년 세계수학자대회ICM의 초청 연사였으며, 2005년 미국수학연맹MAA이 수여하는 쇼베넷 상Chauvenet Prize을 받았다. 2012년에 미국수학회AMS의 펠로우로 선출되었다. 『Mathematics and Its History』1989, 『Yearning for theImpossible: The Surprising Truths of Mathematics』2006,『Roads to Infinity』2010, 『Reverse Mathematics: Proofsfrom the Inside Out』2018 등 다양한 주제의 수학 교과서와교양서를 저술하였다. 역자 : 김영주 건국대학교 수학교육과 이학사 서울대학교 수리과학부 이학석사 미국 City University of New York Ph. D. in Mathematics 뉴욕 Lehman College 수학과 전임강사 고등과학원 수학부 연구원, Open KIAS 연구교수 현재, 건국대학교 수학교육과 부교수 공저: 『미분기하학 Ⅰ+Ⅱ』 공역: 『오일러 우리 모두의 수학자』, 『The Princeton Companion to Mathematics』 역자 : 이계식 서울대학교 수학과 이학사 독일 University of M?enster 이학석사, 박사 프랑스 INRIA Coq Team 연구원 일본 AIST 정보보안연구센터(RCIS) 연구원 서울대학교 소프트웨어 무결점 연구센터 연구원 현재, 한경대학교 컴퓨터응용수학부 교수 역자 : 최인송 서울대학교 수학과 이학사 서울대학교 수리과학부 이학석사, 박사 고등과학원 수학부 연구원, 조교수 현재, 건국대학교 수학과 교수 공저: 『다변수 미분적분학』

번역자의 말 서문 1장 기초 주제 1.1 산술 1.2 계산 1.3 대수 1.4 기하학 1.5 미적분학 1.6 조합론 1.7 확률 1.8 논리학 1.9 역사 1.10 철학 2장 산술 2.1 유클리드 알고리즘 2.2 연분수 2.3 소수 2.4 유한 산술 2.5 이차 정수 2.6 가우스 정수 2.7 오일러의 증명 되돌아보기 2.8 √2와 펠 방정식 2.9 역사 2.10 철학 3장 계산 3.1 숫자 표기법 3.2 덧셈 3.3 곱셈 3.4 나눗셈 3.5 거듭제곱 3.6 P-NP 문제 3.7 튜링 기계 3.8 해결불가능한 문제 3.9 범용 기계 3.10 역사 3.11 철학 4장 대수 4.1 고전 대수 4.2 환 4.3 체 4.4 역수와 연관된 두 정리 4.5 벡터 공간 4.6 일차 종속, 기저, 차원 4.7 다항식 환 4.8 대수적 수 체 4.9 벡터 공간으로서의 수 체 4.10 역사 4.11 철학 5장 기하 5.1 수와 기하학 5.2 각에 대한 유클리드의 이론 5.3 넓이에 대한 유클리드의 이론 5.4 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용한 작도 5.5 연산의 기하적 실현 5.6 작도의 대수적 실현 5.7 벡터 공간의 기하 5.8 내적을 이용하여 길이 정의하기 5.9 작도가능한 수의 체 5.10 역사 5.11 철학 6장 미적분 6.1 기하급수 6.2 접선과 미분 6.3 도함수 구하기 6.4 곡선으로 제한된 영역의 넓이 6.5 ?=?? 아래의 넓이 6.6 미적분학의 기본정리 6.7 로그함수를 거듭제곱급수로 표현하기 6.8 탄젠트함수의 역함수와 π 6.9 초등함수 6.10 역사 6.11 철학 7장 조합론 7.1 소수의 무한성 7.2 이항 계수와 페르마의 소정리 7.3 생성 함수 7.4 그래프 이론 7.5 트리 7.6 평면 그래프 7.7 오일러의 다면체 정리 7.8 비평면 그래프 7.9 쾨니히 무한 보조정리 7.10 슈페르너의 보조정리 7.11 역사 7.12 철학 8장 확률 8.1 확률과 조합 8.2 도박사의 파산 8.3 무작위 걷기 8.4 평균, 분산과 표준편차 8.5 벨 곡선 8.6 역사 8.7 철학 9장 논리 9.1 명제 논리 9.2 동어반복, 항등식, 해의 존재성 9.3 속성, 관계, 양화사 9.4 귀납법 9.5 페아노 산술 9.6 실수 9.7 무한 9.8 집합론 9.9 역수학 9.10 역사 9.11 철학 10장 고등 수학의 몇 가지 주제들 10.1 산술: 펠 방정식 10.2 계산: 낱말 문제 10.3 대수: 기본 정리 10.4 기하: 사영 직선 10.5 미적분학: π의 월리스 곱 10.6 조합론: 램지 이론 10.7 확률: 드 무아브르 분포 10.8 논리: 완전성 정리 10.9 역사와 철학 참고문헌 찾아보기

이 책의 핵심 주제어는 기초(elementary) 수학과 고등(advanced) 수학이다. 여기서의 ‘기초 수학’을 쉬운 수학 또는 학제상 어릴 때 배우는 수학과 동일시해선 안 된다. 수학자들의 연구를 통해 수학이 발전하면서 여러 가지 수학적 개념과 논증법 사이에 ‘수준’의 차이가 있다는 것이 밝혀졌고, 이를 어느 정도 객관적으로 구분할 수 있게 되었다. 이 책에서는 현대 수학 체계의 바탕에 기반을 형성하는 내용을 기초 수학이라고 부른다. 그리고 기초 수학의 내용을 설명하고, 그 범위가 어디까지인지, 고등 수학과의 경계선을 어디쯤 놓아야 할지를 탐색한다.
- 번역자의 말

이 책의 목표는 ‘기초적’이라는 말이 무슨 뜻인지 설명하는 것이다. 달리 말하면, 왜 수학의 어떤 논의가 다른 것에 비해 ‘더 기초적’으로 보이는지 그 이유를 설명하는 것이다. 기초적이라는 개념은 수학이 발전함에 따라 계속 변화해왔다고 보는 것이 타당하다. 실제로 오늘날 기초 수학의 일부로 여기는 어떤 주제는 그 동안의 엄청난 발전이 그 주제를 기초적으로 만들었기 때문에 그렇게 된 것이다. (…) 이 책이 수학의 기초에 관심이 있는 예비 수학도와 교사, 수학자에게 흥미로운 책이 되기를 바란다. 대학을 준비하는 학생들은 이 책을 통해, 미리 알아두면 유용한 것들에 대해 조망하면서 앞으로 마주치게 될 주제들을 흘낏 일별할 수 있다. 대학에서 강의하는 수학자들에게 이 책은, 학생들이 알기를 바라지만 실은 우리 자신도 썩 잘 알지 못하는 주제에 대한 보충의 기회가 될 수 있겠다.
- 서문